Zur Anwendung der Approximation durch endliche Punktmengen auf die Lösung von Integro Differentialgleichungen

Wick, J.

Book/Report

FZJ-2018-00248

Zur Anwendung der Approximation durch endliche Punktmengen auf die Lösung von Integro Differentialgleichungen

Wick, J. (Corresponding author)FZJ*

1974
Kernforschungsanlage Jülich GmbH, Zentralbiliothek, Verlag Jülich

Jülich : Kernforschungsanlage Jülich GmbH, Zentralbiliothek, Verlag, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich 1124, 25 p. (1974)

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/16421

Report No.: Juel-1124-MA

Abstract: Für die in [10] dargestellte Approximation nichtnegativer integrierbarer Funktionen durch endliche Punktmengen wurde in [12) gezeigt. daß sich damit konvergente Folgen bilden lassen, deren Grenzwerte die Lösungen von lntegro-Differentialgleichungen vom Typ der Erhaltungsgleichungen sind. Dabei wird aus einer Punktmenge, die asymptotisch nach der Anfangsbedingung verteilt ist [8], für jeden späteren Zeitpunkt eine gleichmächtige Menge konstruiert, die asymptotisch nach der Lösung verteilt ist. Da die betrachteten Gleichungen insbesondere in der kinetischen Gastheorie auftreten, läßt sich dort diese Art der Approximation als Darstellung desGases durch n Teilchen auffassen. Diese tlberlegung, Probleme der kinetischen Gastheorie durch das Studium des Verhaltens von Stichproben numerisch zu lösen, findet sich bereits bei Morse [in 1]. Die von Morse und anderen entwickelten Simulationsverfahren unterscheiden sich jedoch in zwei wesentlichen Punkten von der hier angegebenen Approximation. Einmal fehlt jegliche Konvergenzaussage, zum anderen gilt der Einwand, den Hlawka [4] bereits für Monte-Carlo-Integration machte: Eine Vergrößerung der Stichprobe und damit Rechenaufwandes führt nicht notwendig zu einer Verbesserung der Ergebnisse. In unmittelbarem Zusammenhang damit steht die Konstruktion der Anfangsapproximation (§ 2). Die Approximation ist aber nicht auf Probleme der kinetischen Gastheorie beschränkt, wo sie diese anschauliche Interpretation gestattet und umgekehrt darüber Auskunft liefert, welche Funktionalgleichungen asymptotisch das Verhalten von Massenpunkten beschreiben. Sie läßt sich ebenso z.B. in gewissen Fällen der Wirbeltransportgleichung benutzen. Darüberhinaus ist die Beschränkung auf nichtnegative Funktionen nur aus Darstellungsgründen vorgenonnnen. Auf die beiden letztgenannten Probleme soll hier jedoch nicht weiter eingegangen werden.In § 1 werden die theoretischen Grundlagen, wie sie in [10] und [12] dargestellt sind, zusannnengestellt. In § 2 wird die Transformation der Anfangsbedingung auf die Gleichverteilung behandelt. In § 3 wird eine möglichst gute Approximation der Gleichverteilung gesucht und in § 4 numerische Ergebnisse am Beispiel der Vlasov-Gleichung diskutiert.

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