Über die stationäre Lösung der Diffusionsgleichung mit Drift Term

Profant, M.; Walther, H.

Book/Report

FZJ-2017-08268

Über die stationäre Lösung der Diffusionsgleichung mit Drift Term

Profant, M.FZJ* ; Walther, H.FZJ*

1973
Kernforschungsanlage Jülich, Verlag Jülich

Jülich : Kernforschungsanlage Jülich, Verlag, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich 1027, 27 p. (1973)

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/16198

Report No.: Juel-1027-MA

Abstract: In der vorliegenden Arbeit wird eine elliptische Differentialgleichung in E$^{3}$ behandelt, die den Strom der Defekte in einem strahlgeschädigten metallischen Werkstoff beschreibt. Die Defektstruktur in diesem Werkstoff ist nicht nur durch die Erzeugungsart der Defekte, sondern in hohem Maße auch durch die Wechselwirkung der während der Bestrahlung thermisch beweglichen Defekte bestimmt. Diese Wechselwirkung ist in metallischen Werkstoffen im wesentlichen elastischer Natur. Dadurch führen die Punktdefekte eine Driftdiffusion aus, die in guter Näherung durch Gleichung (1) beschrieben wird. Dabei ist weniger die Lösung der Gleichung (1) von Interesse, als vielmehr der Wert des Flußintegrals (4). Im ersten Kapitel wird gezeigt, daß das Flußintegral (4) der Minimalwert des Funktionals der entsprechenden Variationsaufgabe ist. Diese Tatsache bestimmt auch die Lösungsmethode. Für die Lösung der Variationsaufgabe haben wir das Ritz'sche Verfahren gewählt, wobei die Koordinatenfunktionen die Eigenfunktionen des Laplace-Operators sind. Diese Wahl der Koordinatenfunktionen garantiert uns (wegen der Ähnlichkeit - im Sinne von Michlin - beider Operatoren), daß sie in einem geeigneten Hilbertraum ein minimales System bilden. Die Existenz und Eindeutigkeitder Lösung wird im Kapitel 2 gezeigt, wo auch die erforderlichen Grundbegriffe kurz skizziert sind. Für die numerische Rechnung empfiehlt es sich, die Anzahl der dreidimensionalen Integrationen möglichst zu reduzieren, um annehmbare Rechenzeiten zu erreichen. Im Kapitel 3 (und im Anhang 4) wird daher gezeigt, daß für die Ritz'sche Matrix nur eindimensionale und zweidimensionale Integrationen notwendig sind. Um die Güte unserer Ergebnisse abzuschätzen, rechnen wir das Flußintegral auch direkt aus der (numerisch) bekannten Lösung und vergleichen (im Kapitel 4) mit dem Minimum des Funktionals. Wünschenswert wäre die Gleichheit beider Größen; wir erhalten eine Differenz von etwa 1 %. Testfall für unser Programm ist der Fall G = 1 (winkelunabhängiger Fall), wo wir das Problem analytisch lösen können. Die numerischen und analytischen Ergebnisse stimmen in diesem Fall auf 4 - 5 Stellen überein. Die ganze Rechnung für den winkelunabhängigen Fall wurde für fünf verschiedene Parameter B (zwischen B = 330 und B = 2.468) durchgeführt. Dabei hat sich gezeigt, daß das Verhältnis zwischen dem Flußintegral für G = 1 und dem Flußintegral für G aus (2) ungefähr bei 79 % liegt. Die Autoren danken Herrn R. Kaussen und Herrn G. Graten für ihre Hilfe bei der Programmerstellung und Herrn J. Wiek für wertvolle mathematische Diskussionen.

Contributing Institute(s):