Integration von Produkten halbzahliger Besselfunktionen mit Potenzen von X

Profant, M.; Pöppe, C.

Book/Report

FZJ-2018-00177

Integration von Produkten halbzahliger Besselfunktionen mit Potenzen von X

Profant, M.FZJ* ; Pöppe, C.FZJ*

1974
Kernforschungsanlage Jülich GmbH, Zentralbiliothek, Verlag Jülich

Jülich : Kernforschungsanlage Jülich GmbH, Zentralbiliothek, Verlag, Berichte der Kernforschungsanlage Jülich 1097, 37 p. (1974)

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/16402

Report No.: Juel-1097-MA

Abstract: Bei der Anwendung des Ritz'schen oder Galerkin'schen Verfahrens für dreidimensionale eliptische Aufgaben benutzt man als Koordinatenfunktionen häufig die Funktionen $\phi_{klm} = c_{klm} \frac{1}{\sqrt{r}}J_{k+\frac{1}{2}} (\gamma_{k, l}r) P^{m}_{k}(cos \vartheta) ^{cos m \varphi}_{sin m \varphi}$ für r $\le$ 1, oder $\phi_{klm} = c_{klm} \frac{1}{\sqrt{r}}J_{k+\frac{1}{2}} (\frac{\gamma_{k,l}}{r}) P^{m}_{k} (cos \vartheta) ^{cos m \varphi}_{sin m \varphi}$ für r $\geq$ 1, wobei $\gamma_{k,l}$ die 1-te Nullstelle der Bessel-Funktion J$_{k+\frac{1}{2}}$ ist. Wenn wir noch die vorgegebene Gleichung als A u = f schreiben, tauchen in den oben erwähnten Verfahren die Skalarprodukte (A $\phi_{klm}$, $\phi_{\alpha\beta\gamma}$) auf. Dazu müssen wir oft (wenn der Operator A bezüglich r separabel ist) die Integrale der Form (1.1) $\int x^{n} \sqrt{x} J_{m+\frac{1}{2}}(\gamma x)dx$ und $\int x^{k} J_{m+\frac{1}{2}} (\gamma_{1}x) J_{n+\frac{1}{2}} (\gamma_{2}x)dx$ ausrechnen. Es handelt sich dabei um die Integration schnell oszillierenden Funktionen (bei größerem $\gamma$), die numerisch nur schwer erfaßbar ist und dadurch auch sehr viel Rechenzeit kostet. Die Genauigkeit ist (bei Gauß'scher Quadratur) im Abschnitt 5. gezeigt. Andererseits sind gerade die halbzahligen Bessel-Funktionen geschlossen darstellbar, wie man an der Formel (2.1) sieht, und die Integrale (1.1) kann man analytisch ausrechnen. Die Methode ist in den Abschnitten 2. und 3. erklärt. Im Abschnitt 4. sind alle Formeln für (1.1) zusannnengestellt; das sind die Formeln für die unbestimmten Integrale (1.1). Es kommt jetzt auf die Integrationsgrenzen an. Für die von Null verschiedenen Grenzen können wir die Formeln aus 4. direkt benutzen; aber im Nullpunkt erscheinen in einzelnen Gliedern die Potenz- und Logarithmus-Singularitäten,obwohl das Integral als Summe von diesen Gliedern im Nullpunkt regulär ist. Die Grenzwerte der Integrale für x gegen Null werden im Abschnitt 5. berechnet. Die Formeln aus 4. und 5. haben z.B. die Anwendung des Galerkinschen Verfahrens auf die Diffussionsgleichung mit Driftterm ermöglicht, d.h. auf Gleichungen vom Typ $-\Delta u + \bigtriangledown u \bigtriangledown (-\frac{c(\vartheta, \varphi)}{r^{3}})$ = 0 im Äußeren einer Kugel.

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