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| Book/Report | FZJ-2018-00236 |
1974
Kernforschungsanlage Jülich GmbH, Zentralbiliothek, Verlag
Jülich
Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/16423
Report No.: Juel-1110-MA
Abstract: Die stationäre Dif fusionsgleichung mit Drift-Term ist eine elliptische Differentialgleichung, deren Lösung im Äußeren der Einheitskugel gesucht ist. Es handelt sich dabei um eine dreidimensionale Aufgabe mit gemischten Randbedingungen. Der Drift-Term ist durch eine Funktion G($\theta, \phi$) (s. (1),(4)) bestinnnt, die nur näherungsweise bekannt ist. Mit G$^{a}$ bzw. G$^{n}$ wird hier die erste bzw. dritte Näherung der Funktion G bezeichnet. Aus der Lösung der gegebenen Gleichung (1) können wir das Flußintegral (13) berechnen, weiterhin den Einfluß der dritten Näherung für (13) und schließlich die Abhängigkeit des Integrals (13) von dem Parameter B·s. (1) untersuchen. Die Tabellen 1 bis 7 und die Abb. 3 zeigen, daß die Differenz zwischen dem Flußintegral (13) für G$^{a}$ und G$^{n}$ sehr klein ist; sie; liegt für die meisten Fälle unter 1 %. Für den größten Wert des Parameters B (B = 2468) ist diese Differenz 3,27 %; in diesem Falle liefert das Verfahren aber nur eine so grobe Näherung, daß wir nur qualitative Schlüsse ziehen können. Die Abhängigkeit des Flußintegrals (13) von B ist in Abb. 3 gezeigt. Es ist ungefähr proportional der dritten Wurzel aus B. Für die erste Näherung G$^{a}$ wurde das Problem schon in [4] behandelt. Dort haben wir die ursprüngliche Gleichung durch eine Substitution in die Gl. -$\Delta$u + $\rho$u = f (8) überführt und dann das Ritzsche Verfahren $\big[\bigtriangledown$ ($\frac{G}{r^{3}}$) $\big]^{2}$ abhängig ist (s. (8)). Obwohl die Funktionen G$^{a}$ und G$^{n}$ (s. Abb. 1) sich nicht viel unterscheiden ist die Differenz zwischen den Gradienten dieser Funktionen sehr groß (s. Abb. 2). In den für das Ritzsche Verfahren berechneten Integralen haben sich also die Integranden wesentlich geändert. Um diese Schwierigkeit zu umgehen müßte man die Gleichung (1) derart umformen, daß nur die Funktion G selbst, nicht aber deren Ableitungen in den Integralen auftreten. Diese Eigenschaft hat z.B. die Gl. (1) oder die Gl. -$\Delta$u + $\bigtriangledown$g$\bigtriangledown$u = f (11) die der ursprünglichen equivalent ist. In diesen Fällen kann man mit den Greenschen Identitäten die auftretenden Integrale so umformen, daß keine Ableitungen von G in den Integranden erscheinen. Dafür müssen wirdie Nichtsymmetrie der Operatoren und langsamere Konvergenz in Kauf nehmen. Alle drei Fälle sind im Anhang A für G = 1 getestet worden. In diesem Falle ist das Problem eindimensional und analytisch lösbar. Das Galerkinsche Verfahren für die Gleichung (11) konvergierte besser als für die Gleichung (1). Daher wird die Gleichung (11) auch im dreidimensionalen Falle verwendet. Wegen der langsameren Konvergenz brauchen wir ziemlich viele Koordinatenfunktionen (es wurden 210 genomnen). Dabei entstehen Schwierigkeiten bei der Integration. Es handelt sich um die typischen Probleme, die bei der Integration der schnelloszillierenden Funktionen auftreten, deshalb wurden alle Integrale analytisch berechnet. Für die $\theta$- und $\phi$-Integration sind die benötigten Formeln im zweiten Kapitel angegeben, für die r-Integration wurden die Formeln aus [5] zur Integration von Produkten halbzahliger Besselfunktionen mit Potenzen von x benutzt.
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