Vereinfachung generierender Partitionen von chaotischen Attraktoren

Eisele, M.

Book/Report

FZJ-2019-00367

Vereinfachung generierender Partitionen von chaotischen Attraktoren

Eisele, M. (Corresponding author)FZJ*

1995
Forschungszentrum Jülich GmbH Zentralbibliothek, Verlag Jülich

Jülich : Forschungszentrum Jülich GmbH Zentralbibliothek, Verlag, Berichte des Forschungszentrums Jülich 3021, VI, 204 p. (1995)

Please use a persistent id in citations: http://hdl.handle.net/2128/21223

Report No.: Juel-3021

Abstract: Auch in niedrigdimensionalen Phasenräumen von dissipativen Systemen können Attraktoren mit chaotischer Dynamik existieren. Die wesentlichen koordinatenunabhängigen Eigenschaften dieser Dynamik können mit Hilfe der Symbolischen Dynamik erfaßt werden, bei der Orbits durch Symbolsequenzengekennzeichnet werden. Dazu benötigt man eine spezielle Unterteilung des Phasenraumes, nämlich eine Partition, die zumindest näherungsweise generierend ist. Solche Partitionen wurden meist konstruiert, indem der Phasenraum in viele kleine Gebiete unterteilt wurde. Eine einfache generierende Partition, die aus wenigen Gebieten besteht, konnte man bisher bloß nach Gespür konstruieren, und zwar nur für Attraktoren, die eine spezielle geometrische Form haben. Diese Arbeit stellt eine neue, systematische Methode vor, wie man Partitionen vereinfachen kann, ohne daß sie aufhören, generierend zu sein. Dabei wird ein neues Einfachheitskriterium verwendet, welches früheren Einfachheitskriterien ähnelt, aber leichter handhabbar und allgemeiner ist. Um eine Partition zu vereinfachen, muß man nur die wichtigsten Regeln ihrer Symbolischen Dynamik kennen. Zunächst wird die Partition mit Hilfe neuer mathematischer Konzepte (Bündel von expandierenden und kontrahierenden Blättern einer zwiefachen Partition) beschrieben. Diese Beschreibung wird schrittweise abgeändert. Zuletzt wird aus ihr eine Partition konstruiert, die in ebenso guter Näherung generierend und mindestens so einfach ist wie die ursprüngliche Partition. Die Rechnung selbst beruht auf rein algebraischen Symbolmanipulationen, bei denen die Geometrie des Attraktors nicht betrachtet zu werden braucht. Viele der Rechenregeln sind neu. Sie lassen sich prinzipiell auch auf unübersichtliche, insbesondere höherdimensionale Attraktoren anwenden. Wenn man während der Rechnung auf einige plausible Bedingungen achtet, dann ist auch in diesem allgemeinen Fall ein erfolgreicher Abschluß der Rechnung garantiert. Als Beispiel wird aber nur die zweidimensionale dissipative Henon Abbildung betrachtet (und zwar bei den Parameterwerten a = 1.0; b = 0.54 und den Standardparameterwerten a = 1.4; 5 = 0.3). DieVereinfachungsmethode ist so gründlich, daß sie sogar bei Standardparameterwerten eine bislang übersehene binäre Partition fand, die ebenso einfach ist wie die bekannte binäre Standardpartition. Als weitere Anwendung der neuen Rechenmethoden wird demonstriert, wie man eine senkrechte Ordnung auf Attraktorpunkten konstruieren kann, sofern deren stabile Mannigfaltigkeiten eindimensional sind. Die Vereinfachungsmethode ist systematisch genug, um sich prinzipiell als Algorithmus programmieren zu lassen, aber leider ziemlich komplex. Es wird angedeutet, wie sie in der Gestalt eines neuronalen Netzes implementiert werden könnte. Einige neurobiologische Fakten weisen darauf hin, daß die Natur eine solche Implementierung durch die neocortikalen Pyrarnidenzellen realisiert haben könnte.

Contributing Institute(s):